Bequita sa for 18år siden:

Den passer sikkert her, eller?

Jeg fant dette stykket her om dagen, det har en meget elegant og enkel løsning. Vet du svaret? Ikke scroll nedover før du har et forslag!

Oppgaven er en likning, du skal finne ut hva x må være:

e^x + 1/e^x = 2

^ betyr "opphøyd i", så likningen kan leses: e i x'te pluss en delt på e i x'te er lik to.

Forslag? :mhmm:

Ikke scroll ned før du har et forslag!!! :nono:

OK?

Skilpadda sa for 18år siden:

Eh. Null?

Adrienne sa for 18år siden:

Jeg tror det samme, men jeg kan ikke lage en elegant og enkel løsning på det. Faktisk så ble løsningen min full av paranteser, lnx etc, og elegant kan vel neppe det kalles.

annemede sa for 18år siden:

Null er mitt forslag også.

him sa for 18år siden:

Jeg får

e^x + 1/e^x = 2
2e^x + 1 = 2e^x
2e^x - 2e^x = -1
0 = -1

Neppe helt rett nei ... :knegg:

Skilpadda sa for 18år siden:

I så fall ville det jo vært revolusjonerende. :haha:

him sa for 18år siden:

Det ligner litt på lønnskontoen min, da, så det er mulig jeg er inne på noe her!

Adrienne sa for 18år siden:

Jeg tror du gjorde feil i overgangen fra første til andre linje. e^x*e^x er e^(2x), ikke 2e^x

Da blir andre linje:
e^(2x)+1 = 2e^x

Videre fikk jeg:
2e^x - e^(2x) = 1
e^x(e^x-1) = 1

Og det var her alle lnx etc kom inn i bildet og skapte totalt kaos …

Skilpadda sa for 18år siden:

Hm? Den overgangen skjønte jeg ikke. Blir det ikke

2e^x - e^(2x) = 1
e^x(2-e^x) = 1

Ikke at det ble så mye lettere å løse. :knegg:

Adrienne sa for 18år siden:

Sikkert, jeg tror jeg var litt kjapp i vendingen, samtidig som jeg brukte mer tid på å få til det førd.... numeriske tastaturet mitt, enn å faktisk sjekke svaret mitt. Så det er Teofelia sin feil, ikke min. :knegg:

Men for å spinne litt videre på problemet så får man vel at
lnx(ln2-lnx) = ln1 (og ln1 er vel null), eller får man det? For det er her jeg roter meg skikkelig ut på viddene, for jeg husker ingenting av logaritmer.

Toffskij sa for 18år siden:

x = 1 og e = 1?

1^1 + 1/1^1 = 2, lissom?

Tinetoff, matematisk naiv og har aldri hørt om lnx og denslags.

Skilpadda sa for 18år siden:

Jeg husker det heller ikke. Men kan du ta ln til venstre side på den måten der, da? Hvordan var nå dette ... ln(xy) = lnx-lny, tror jeg. Men ikke ln(x-y) = lnx-lny, vel?

Adrienne sa for 18år siden:

Toffen, du er så søt når du er naiv. e er et tall, på samme måte som pi. e^0 er 1 (faktisk så er alt som er opphøyd i null lik 1).

Adrienne sa for 18år siden:

Nemlig, det var der jeg rotet meg noe så voldsomt bort på viddene. Husker absolutt ingenting av dette, og mattebøkene mine er pakket laaaangt bort, takk og lov.

Skilpadda sa for 18år siden:

e er ikke en variabel, e er et tall. (Et irrasjonelt tall, i likhet med pi. e=2,71828...)

Ellers ville det blitt riktig. :)

Adrienne sa for 18år siden:

Skal vi se: ln(e^x) = xlne
ln(xy) = lnx + lny
ln(x/y) = lnx - lny

Men det hjelper meg jo lite....

Toffskij sa for 18år siden:

Ja, ja ... :sparke:

Skilpadda sa for 18år siden:

Jeg skal lære deg dette neste gang vi treffes, jeg. :glis: Gleder du deg ikke? :hyper:

Toffskij sa for 18år siden:

Klart jeg gleder meg!

Røverdatter sa for 18år siden:

Jeg tror Tinetoff og Skilpadda bør treffes i kveld eller i morgen. Det haster egentlig litt med dette syns jeg! Bør læres før helgen :glis:.

Toffskij sa for 18år siden:

Å, nå? :gruble:

Kaija sa for 18år siden:

Nå føler jeg meg like blond som hun prosessorskiftende blondinen. Her går det i lås når jeg må tenke på bokstaver som tall. X og Y, a, b, e ... Alt er et eneste rot for meg, og rullgardina trekkes ned fortere enn fort. :lalala:

Ta det med ro. Jeg underviser ikke i matematikk på høyere trinn enn småskolen. Jeg kjenner mine begrensninger.

Skilpadda sa for 18år siden:

Men, men, men ... Det er jo mye ryddigere å forholde seg til bokstaver enn til selve tallene. Da kan man flytte rundt på dem og manipulere og behandle dem som man vil, uten å bry seg om hvor store og klumpete de er, eller hvor mange desimaler de har, eller noe som helst. Veldig pent og ordentlig og lettvint. :D

Teofelia sa for 18år siden:

Det kan sikkert bli riktig morsomt. :glis:

Kaija sa for 18år siden:

Det sier matematikerfaren min også, etterfulgt av: "Alt er tall! Alt er matematikk! Det er fantastisk! Jeg skjønner ikke hvorfor ikke du forstår dette her, Kaija. Dette er jo SÅ enkelt, og du er jo egentlig ganske intelligent ..." Er det rart en får sperre og rullgardin av slikt, da?

Adrienne sa for 18år siden:

Knuseklemmer og dulter på Skilpadda.

Ru sa for 18år siden:

lener seg godt tilbake og ser på

Jeg skjønner ikke slike ting :blond:

Maverick sa for 18år siden:

Kan noen snart komme med den elegante løsningen?

:skjønneringentingmenvilgjerneseeteleganttall:

Skilpadda sa for 18år siden:

For noe tull! :rødme: ln(xy) = lnx+lny, selvsagt. Det er ln(x/y) som er lnx-lny. Er det rart publikum blir forvirret, sier jeg bare. :mumle:

Toffskij sa for 18år siden:

Publikum har falt av lasset for lengs (ln-hvafforno?!) og burde sitte og skrive på avhandlingen sin som de faktisk skjønner noe av. (I motsetning til flertallet av verdens befolkning. :sparke: )

Claire sa for 18år siden:

Svaret er: x = ln 1

Det sies; den naturlige logaritmen til 1

Quad erat demonstrandum:
u=e^x

u+1/u=2
u^2+1=2u
(u-1)^2=0
u=1
u=e^x=1 ---> x = ln1

Skilpadda sa for 18år siden:

Vakkert. Takk. :)

(Og ln1 = 0, hvis noen lurte på det.)

Maverick sa for 18år siden:

Øh... Elegansen gikk meg hus forbi.

:flau:

Toffskij sa for 18år siden:

:brisker meg med det lille jeg kan:

Adrienne sa for 18år siden:

Pent! :blomster:

Takk så mye, nå slipper jeg å irritere meg mer over denne urteite oppgaven. Tror ikke jeg skal legge ut min utledning, som tok helt av en liten stund.

Claire sa for 18år siden:

:hehehe:

Eg har juksa littegrann, og sendt mail til mannen.
Og så ein liten persillekvast på toppen. :glis:

(Vedkjenner meg heller uvitenhet om matematikk enn feilstaving av latinske uttrykk. :knegg:)

Ru sa for 18år siden:

Er det ikke herlig! :D

amylin sa for 18år siden:

Jeg har falt av lasset for lenge siden. Matte og meg hører ikke samme, vi er dypt uenige om det meste. Og Skilpadda, ikke kom å si at alt er matte. Matte og meg, nei, vi har en eviggående krangel. :lalala:

Liv Etertopp sa for 18år siden:

Jeg klarte den. Alle kjemikere kan regne med logaritmer. Premie til første ikke-kjemiker som forteller hva pH er! :D

Muskat sa for 18år siden:

For en som overhodet ikke kan matte var jo dette superenkelt:

e^x + 1/e^x = 2

X må være noe som får e^x til å tilsvare tallet 1.
Da blir det sånn:
e^x + 1/e^x = 2
1 + 1 / 1=2

Logisk ikke sant? Nå har jeg jo ikke funnet ut nøyaktig hva x er, for jeg (som ikke kan matte) vet jo ikke hva e er. Men jeg tipper det finnes en eller annen bokstav som betegner det. :nemlig:

Skilpadda sa for 18år siden:

Ja, det stemmer helt, det du sier. :) Og det var det jeg også så - problemet var å "utlede" det. x må være null, for den eneste måten et tall kan bli til 1 ved å opphøye det, er ved å opphøye det i null. (x^0 = 1 for alle x - det er bare definert slik.)

e er et tall, som tidligere nevnt, men det er forsåvidt - som vi ser - ikke nødvendig å vite det for å forstå det som du nettopp har forklart. :)

Muskat sa for 18år siden:

Jeg skjønner bare ikke hvorfor x^0 = 1? Så f.eks. 27^0=1. Hvorfor ikke 27? Eller 0? :gaah:

Det er vel 14-15 år siden jeg hadde matte på vgs, så jeg burde strengt tatt bare holdt meg unna denne tråden. :knegg:

Majsa sa for 18år siden:

Gir du fjernundervisning også? :blånn:

Skilpadda sa for 18år siden:

Det er forsåvidt "vilkårlig", ja. Men fordelen med å velge at det er 1, er at generelle regler da også vil gjelde når eksponenten er 0. Altså, man trenger ikke lage spesialregler for 0 - bortsett fra altså denne ene regelen, som alltid gjelder.

Nei, hvorfor det? :) Det er jo bare morsomt å lære noe nytt, eller å oppfriske gammel kunnskap. Det er godt over 10 år siden jeg sist hadde matematikk, jeg også - 11 og et halvt, vel, siden jeg leverte oppgaven min.

Nenne sa for 18år siden:

Jeg er ikke kjemiker, men jeg vet at pH brukes til å måle surhetsgraden i vann. H-en i pH står vel for hydrogen?

Adrienne sa for 18år siden:

pH er en måleenhet for surhetsgraden i vannløsninger. Det som bestemmer er mengden hydrogenioner i løsningen, i logaritmisk skala. pH = -log[H+], dvs jo lavere surhetsgrad, jo flere hydrogenioner.

Er ikke kjemiker.

Liv Etertopp sa for 18år siden:

Da er premien delt ut og jeg takker for meg i denne spalten :D

Bequita sa for 18år siden:

Skilpadda var først ute med rett svar! Og flere andre klarte den også, dere er superflinke! :klapp:

Det enkleste med denne er nettopp å begynne i "feil" ende, nemlig se på hva som lagt sammen kan bli 2. Det kan jo være 1 + 1, og siden den eneste måten å få det til å bli 1 + 1 på er at x = 0, så må x være lik null. Man kan også løse den som en enkel annengradslikning, lettest med substitusjon:

e^x + 1/e^x = 2 kaller e^x for u og ganger med det
u^2 + 1 = 2u rydder opp
u^2 -2u + 1 = 0 bruker 2. kvadratsetning
(u - 1)^2 = 0 *Som gir at u = 1 (for at høyre side skal bli null)
u = 1 = e^x
og x = lne^x = ln1 = 0

Bequita sa for 18år siden:

gaah

Grunnen til at alle tall opphøyd i nullte blir 1, er akkurat den samme som for brøk med lik teller og nevner; uansett hvilket tall det er så blir verdien av hele brøken 1.

Svaret ditt på nøtten var forøvrig genialt enkelt! Du har tall-talent! :)

Skilpadda sa for 18år siden:

Eller 1, da. :humre: Men det er jo enkelt å forklare og demonstrere rent fysisk - har du like mange appelsiner som unger, så får hver unge én appelsin. Langt vanskeligere å visualisere hvordan noe skal ganges med seg selv null ganger. :)

LilleRosin sa for 18år siden:

Nei, for seint ute!

Mer?

Miss Norway sa for 18år siden: